Question

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer

（1）由已知中容器的高为x，正三棱柱形容器的底边长为，我们计算出棱柱的底面面积代入棱柱体积公式，即可求出函数V（x）的解析式，并根据高和底面边长均为正和，可以得到函数的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．
【解析】
（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为（1分）．
则（4分）
函数的定义域为（5分）
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间内，（7分）
令V′（x）=0，即令，解得．
因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V′（x）＞0；
当时，V′（x）＜0．（9分）
因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值 
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为4．