Question

设函数．
（I）证明：0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件；
（II）若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a²-6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先求函数的导函数f′（x），证明当0＜a＜1时，f′（x）＞0，从而证明了充分性，再由若函数f（x）在区间（1，2）上递增，则a的范围包含（0，1），即证明了不必要性
（II）先将恒成立问题转化为求函数f（x）在区间（-∞，0）上的最大值问题，再分a＞0，a=0，a＜0三种情况利用导数求函数的最大值，由最大值小于2a2-6，解得a的范围
【解析】
（I）对函数）求导，得 
 ，
先证充分性：若0＜a＜1，
∵1＜x＜2，∴x-a＞0，x+a＞0，
∴f'（x）＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）上递增．
再说明非必要性：∵f（x）在区间（1，2）上递增，
∴f'（x）≥0对1＜x＜2恒成立
即对1＜x＜2恒成立，
x2-a2≥0对1＜x＜2恒成立，
即a2≤x2对1＜x＜2恒成立，
∵1＜x＜2，∴1＜x2＜4，
∴a2≤1，即-1≤a≤1．即推不出0＜a＜1．
∴0＜a＜1是函数f（x）在区间（1，2）上递增的充分而不必要的条件 
（II）由（I）知，
令f'（x）=0，得x1=a，x2=-a
①当a=0时，f（x）=x，x∈（-∞，0）时，f（x）＜-6不能恒成立，不符合题意．
②当a＞0时，函数y=f（x）在（-∞，-a）上递增，在（-a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（-a）
若x∈（-∞，0）时，f（x）＜2a2-6恒成立，
则需f（x）极大值=f（-a）＜2a2-6
即-4a＜2a2-6，
解得a＞1．
③当a＜0时，函数y=f（x）在（-∞，a）上递增，在（a，0）上递减，
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上的极大值为f（a）
此时x∈（-∞，0），
若满足f（x）＜2a2-6恒成立，
则需f（x）极大值=f（a）=0＜2a2-6
解得
故若x∈（-∞，0）时，满足f（x）＜2a2-6恒成立，实数