Question

（Ⅰ）已知a＞0b＞0，c＞0，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
（Ⅱ）已知a≥3，求证：．

Answer

（Ⅰ）先根据a2+b2≥2ab，c＞0得到c（a2+b2）≥2abc；同理可得b（a2+c2）≥2abc；a（b2+c2）≥2abc；再根据同向不等式可以相加的性质即可证明不等式．
（Ⅱ）采用分析法来证，先把不等式转化为：，两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．
证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，c＞0
∴c（a2+b2）≥2abc，
同理可得：b（a2+c2）≥2abc；
：a（b2+c2）≥2abc．
上面三个不等式相加可得：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．
原命题得证．
（Ⅱ）要证：．
即证：，
须证：2a-3+2＜2a-3+
转化为证：a2-3a＜a2-3a+2
而上式恒成立．
所以原命题得证．