Question

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer

（I）由已知条件，在 中分别令n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4，a5．即可．
（II）由（1）猜想数列{an}的通项公式：，，检验n=1时等式成立，假设n=k（k≥1）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解析】
（I）分别令n=1，2，3，4，得：
，，

．
（II）由此，猜想
下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，显然结论成立  
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即
那么，
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即