Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx有两个不同的极值点α，β，设f（x）在点（-1，f（-1））处的切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂
（1）若m=1，n=-1，当t∈（-1，1）时，求函数f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若，|α-β|=，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k₁•k₂可能取到的最大整数值．

Answer

（1）先根据m=1，n=-1，f′（x）=3x2+2x-1，求得原函数f（x）在x＜-1或x＞是增函数，在-1＜x＜时是减函数，由于t∈（-1，1）时，再分类讨论即可求得f（x）的最小值．（2）求出求出函数的导函数，因为k1=f′（-1）得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=中得到②，然后①②解得b和c即可；
（3）由于f'（x）=x2+2mx+n，α，β∈（-1，1），得到 即 利用线性规划的方法得到k1k2=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数即可．
【解析】
（1）若m=1，n=-1，f′（x）=3x2+2x-1
此二次函数3x2+2x-1＞0时，x＜-1或x＞，
∴原函数f（x）在x＜-1或x＞是增函数，在-1＜x＜时是减函数，
由于t∈（-1，1）时，
∴当t≥时，f（x）的最小值为：f（t）=t3+t2-t，
当t＜时，f（x）的最小值为：f（）=-．
（2）f′（x）=3x2+2mx+n
∵若
∴f′（-1）=-
3+2b+c=-  ①
∵α，β是3x2+2mx+n=0的两根，∴．
又∵，∴②
由①②得 ．
（3）∵f'（x）=x2+2mx+n，α，β∈（-1，1），
∴即
利用线性规划的方法得到：k1k2=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数值8．