Question

如图椭圆G：（a＞b＞0）的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0）和顶点B1、B2构成面积为32的正方形．
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B、Q为AB的中点，且P（0，-）．问：A、B两点能否关于直线PQ对称．若能，求出kk的取值范围；
若不能，请说明理由．

Answer

（1）由已知可得b=c且a2=32，可求椭圆方程
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．由直线l与椭圆相交于不同的两点可得△＞0即m2＜32k2+16，要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须，利用方程的根与系数的关系代入得，从而可求k得范围
解（1）：由已知可得b=c且a2=32，
所以．∴所求椭圆方程为．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．

得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-32）＞0，
m2＜32k2+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须
设A（x1，y1）B（x2，y2），则，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k2＞0，∴
∴．．
故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．