Question

已知函数f（x）=|x+1|+ax（a∈R）．若函数f（x）在 R 上具有单调性，则a的取值范围为    ．

Answer

先化简f（x）=，再分类讨论：①a＞1时或a＜-1时，②a=1或-1时，③-1＜a＜1时，最后研究函数f（x）在R上的单调性即可．
【解析】
原函数式化简得：f（x）=．
①a＞1时，
当x≥-1时，f（x）=（a+1）x+1是增函数，且f（x）≥f（-1）=-a；
当x＜-1时，f（x）=（a-1）x-1是增函数，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，当a＞1时，函数f（x）在R上是增函数．
同理可知，当a＜-1时，函数f（x）在R上是减函数．（6分）
②a=1或-1时，易知，不合题意．
③-1＜a＜1时，取x=0，得f（0）=1，取x=，由＜-1，知f（）=1，
所以f（0）=f（）．
所以函数f（x）在R上不具有单调性．（10分）
综上可知，若函数f（x）在 R 上具有单调性，则a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．