Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面C₁BD；
（Ⅱ）求证：A₁C⊥平面C₁BD；
（Ⅲ）求二面角B-C₁D-C的余弦值．

Answer

（I）根据正方体的几何特征可得B1D1∥BD，结合线面平行的判定定理，即可得到B1D1∥平面C1BD；
（Ⅱ）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC，结合A1A⊥BD，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1AC，进而BD⊥A1C，连接C1O，可证得A1C⊥C1O，再利用线面垂直的判定定理即可得到A1C⊥平面C1BD；
（Ⅲ）取DC1的中点E，连接BE，CD．根据二面角的定义，可判断出∠BEC为二面角B-C1D-C的平面角，解△BEC即可求出二面角B-C1D-C的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）∵B1D1∥BD，
又BD⊂平面C1BD，B1D1⊄平面C1BD，∴B1D1∥平面C1BD．…（2分）
（Ⅱ）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC．
又A1A⊥BD，∴BD⊥平面A1AC．∵A1C⊂平面A1AC，BD⊥A1C．
连接C1O，在矩形A1C1CA中，设A1C交C1O于M．
由，知∠ACA1=∠CC1O．∴，∴，∴A1C⊥C1O．
又CO∩BD=0，CO⊂平面C1BD，BD⊂平面C1BD，∴A1C⊥平面C1BD．…（7分）
（Ⅲ）取DC1的中点E，连接BE，CE．
∵BD=BC1，∴BE⊥DC1．∵CD=CC1，∴CE⊥DC1．∠BEC为二面角B-C1D-C的平面角．
设正方体的棱长为a，则．
又由，得．
在△BEC中，由余弦定理，得．
所以所求二面角的余弦值为．…（12分）