Question

已知函数f（x）=-sin²x+2asinx+a-1，x∈R
（1）写出函数f（x）的最大值的解析表达式g（a）；
（2）若f（x）≤1对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）若把sinx看成一个整体，则f（x）是sinx的二次函数，且sinx∈[-1，1]，再按a与-1，1比较大小，分情况求出f（x）的最大值，即可得到f（x）的最大值的解析表达式g（a），为一个分段函数．
（2）若f（x）≤1对一切x∈R恒成立，f（x）的最大值小于等于1恒成立，再按（1）中分情况求出的f（x）的最大值来解含a的不等式，就可得到a的取值范围．
【解析】
（1）令sinx=t，则t∈[-1，1]，
f（x）=-t2+2at+a-1=-（t-a）2+a2+a-1
当a＜-1时，f（x）当t=-1时有最大值为-a-2
当-1≤a≤1时，f（x）当t=a时有最大值为a2+a-1
当a＞1时，f（x）当t=1时有最大值3a-2
∴函数f（x）的最大值的解析表达式g（a）=
（2）∵（x）≤1对一切x∈R恒成立
∴f（x）的最大值小于等于1恒成立．
∴当a＜-1时，-a-2≤1，解得-3≤a＜-1
当-1≤a≤1时，a2+a-1≤1，解得-1≤a≤1
当a＞1时，3a-2≤1，不成立
∴a的取值范围为[-3，1]