Question

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F使得△DEF为正三角形，设∠FEC=α．
（1）若α=60°，求△DEF的边长；
（2）求△DEF边长的最小值．

Answer

（1）若α=60°，则可推断出FD∥CB，设正三角形DEF的边长为a，分别在△FCE中和Rt△AED中分别表示出CF和AF，利用AC的值求得a．
（2）设正三角形DEF的边长为a，则CF和AF可表示出，设出∠EDB=∠1，则可用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a，利用辅角公式化简后，利用正弦函数的值域求得a的最小值．
【解析】
（1）若α=60°，则FD∥CB，设正三角形DEF的边长为a，有，
解得．
（2）设正三角形DEF的边长为a，CF=a•sinα，AF=-a•sinα
设∠EDB=∠1
∴∠1=180°-B-∠DEB=120°-∠DEBα=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中=
∴△DEF边长最小值为：