Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，B₁B=BC=1，
（1）求D D₁与平面ABD₁所成角的大小；
（2）求面B D₁C与面A D₁D所成二面角的大小；
（3）求AD的中点M到平面D₁B C的距离．

Answer

（1）连接A1D交AD1于O，由ABCD-A1B1C1D1为长方体，B1B=BC，知四边形A1ADD1为正方形，故A1D⊥AD1，由AB⊥面A1ADD1，知AB⊥A1D，A1D⊥面ABD1，由此能求出DD1与平面ABD1所成角的大小．
（2）连接A1B，由A1A⊥面D1DCC1，知A1A⊥D1D、A1A⊥DC，所以∠DD1C是面B D1C与面A D1D所成二面角的平面角，由此能求出面BD1C与面A D1D所成的二面角的大小．
（3）由AD∥BC，知AD∥面BCD1，所以AD的中点M到平面D1B C的距离即为A点到平面D1B C的距离，由此能求出AD的中点M到平面D1B C的距离．
【解析】
（1）连接A1D交AD1于O，
∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，而B1B=BC，
则四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1，
又∵AB⊥面A1ADD1，A1D⊂面A1ADD1，
∴AB⊥A1D，∴A1D⊥面ABD1，
∴∠DD1O是D D1与平面ABD1所成角，（2分）
∵四边形A1ADD1为正方形，∴∠DD1O=45°，
则D D1与平面ABD1所成角为45°．（4分）
（2）连接A1B，∵A1A⊥面D1DCC1，D1D、DC⊂面D1DCC1，
∴A1A⊥D1D、A1A⊥DC，
∴∠DD1C是面B D1C与面A D1D所成二面角的平面角，（6分）
在直角三角形D1DC中，
∵DC=AB=，D1D=B1B=1，∴∠DD1C=60°，
即面BD1C与面AD1D所成的二面角为60°．     （8分）
（3）∵AD∥BC，
∴AD∥面BCD1，
则AD的中点M到平面D1B C的距离即为A点到平面D1B C的距离，
∵BC⊥面A1ABB1，
∴面BCD1A1⊥面A1ABB1，
过A作AH⊥A1B，垂足为H，
由AH⊥面BCD1A1可得，AH即为所求（10分）
在直角三角形A1AB中，∵AB=，A1A=B1B=1，
∴A1B=2，，
∴AD的中点M到平面D1BC的距离为． （12分）