Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a＜0）有两个极值点x₁=1，x₂=3，当时，f（x）＜3d²恒成立，则d的取值范围是    ．

Answer

对f（x）进行求导，根据x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个极值点可知3和1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可得a，b，c的关系；根据条件f（x）＜3d2恒成立，建立关于d的不等关系，然后利用研究函数的最值即可求出d的取值范围．
【解析】
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c（a＜0）
依题意有 3和1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．
∴解得 ，∴f（x）=ax3-6ax2+9ax+d．
f′（x）=3ax2-12ax+9a，
f（x）＜3d2恒成立，⇔ax3-6ax2+9ax+d＜3d2恒成立，⇔3d2-d＞ax3-6ax2+9ax恒成立，
⇔3d2-d大于ax3-6ax2+9ax在上的最大值，
∵ax3-6ax2+9ax在上是增函数，在x∈[1，3]上是减函数，
在x∈[3，4]上是减函数，且当x=1和x=4的函数值相等，
∴3d2-d＞a×13-6a×12+9a×1，
即3d2-d＞4a，
∴d或d＜．
即为d的取值范围．