Question

在△ABC中，已知（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）
证明：△ABC是等腰三角形或直角三角形．

Answer

把已知等式左右两边的第二个因式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，合并抵消后再利用正弦定理及二倍角的正弦函数公式变形，得到sin2A和sin2B相等，可得出A与B的关系，进而确定出三角形的形状．
证：∵（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），
∴（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）=（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB），
化简整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，
由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB，
即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=，
则△ABC是直角的三角形或等腰三角形．