Question

已知数列{a_n}满足a₁=12，a_n+1-a_n=2n，则的最小值为    ．

Answer

aa2-a1=2，a3-a2=4，…，an+1-an=2n，这n个式子相加，就有an+1=12+n（n+1），故 ，由此利用导数能够求出 的最小值．
【解析】
a2-a1=2，
a3-a2=4，
…
an+1-an=2n，
这n个式子相加，就有
an+1=12+n（n+1），
即an=n（n-1）+12=n2-n+12，
∴，
设y=，
则，
由，得，
由1-＜0，得，
∵n＞0，
∴在（0，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴当n=3，或n=4时，取最小值6．
故答案为：6．