Question

在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0，），直线AB的斜率为k，且满足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．

Answer

（1）设出直线AB和抛物线C的方程并联立消y，在利用弦长公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k2．即可求出抛物线C的方程；
（2）先把直线l的方程与抛物线C的方程联立消y，求出M、N两点横坐标之间的关系，再求出直线ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函数的思想求出∠MON的正切值的范围，进而求出∠MON的取值范围．
【解析】
（1）由已知设lAB：y=kx+①
又设抛物线C：x2=ay（a＞0）②
由①②得x2-akx-=0（2分）
设A（xA，yA），B（xB，yB），，则xA•xB=-
由弦长公式得
（4分）
∴|AF|•|BF|=（1+k2）×||
而|AF|•|BF|=1+k2，所以a=2，即抛物线方程为C：x2=2y（6分）

（2）设M（xM，yM），N（xN，yN），由⇒x2-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
则xM+xN=2，xM•xN=-2m，
，（7分）
不妨设xM＜xN，由于m＞0，则xM＜0＜xN
令，则ON到OM的角为θ，且满足
tanθ=（9分）
令，则，t＞1且t≠
∴tanθ=
函数y=x与在（0，+∞）上皆为增函数
∴t-∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴∈（-∞，-1）∪（0，+∞）（11分）
则θ∈（0，）∪（，），又m=2时，∠MON=θ=
∴∠MON∈（0，）（13分）