Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜．

Answer

（Ⅰ）根据题中给出的设数列{an}的前n项和为Sn便可求出数列{}是公差为1的等差数列，将a1=4代入便可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列bn的通项公式，然后求写前n项和Bn的表达式，进而求出的B3n-Bn表达式，然后证明B3n-Bn为递增数列，即当n=2时，B3n-Bn最小，便可求出m的最大值．
（Ⅲ）先将所需证明的不等式化简为++…+＜，然后利用函数的导函数证明g（x）=ln（x+1）-为增函数，即可证明当n∈N*且n≥2时，T2n＜．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是-=1，所以数列{}是公差为1的等差数列．（2分）
又S1=a1=2a1-22，，所以a1=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故an=（n+1）•2n．（4分）
（注：该问也可用归纳，猜想，数学归纳法证明的方法）
（Ⅱ）因为bn==log2n2=，则B3n-Bn=+++…+．
令f（n）=++…+，
则f（n+1）=++…++++．
所以f（n+1）-f（n）=++-=+-＞+-=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=+++=．
据题意，＜，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．（8分）
（Ⅲ）证明：因为cn=（-1）n+1•，则当n≥2时，
T2n=1-+-+…+-=（1++++…++）-2（++…+）=++…+．（9分）
下面证++…+＜．
先证一个不等式，当x＞0时，ln（x+1）＞．
令g（x）=ln（x+1）-（x＞0），则g′（x）=-=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
则g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln（x+1）＞，
令x=，则ln＞⇒ln（n+1）-lnn＞，
∴ln（n+2）-ln（n+1）＞，
ln（n+3）-ln（n-2）＞，
…，
ln（2n）-ln（2n-1）＞
以上n个式相加，即有ln（2n）-lnn＞++…+
∴++…+＜ln（2n）-lnn＜ln2＜
从而原不等式得证．（14分）