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A﹑B﹑C是直线l上的三点,向量﹑﹑满足:-[y+2f'(1)]•+ln(x+1...

A﹑B﹑C是直线l上的三点,向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网满足:manfen5.com 满分网-[y+2f'(1)]•manfen5.com 满分网+ln(x+1)•manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式;          
(Ⅱ)若x>0,证明f(x)>manfen5.com 满分网
(Ⅲ)当manfen5.com 满分网时,x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求实数m的取值范围.
(I)将条件可变形为,根据A﹑B﹑C三点共线,整理我们可得y=f(x)=ln(x+1)+1-2f'(1),求出,可得函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)构造函数g(x)=f(x)-,证明函数g(x)在 (0,+∞)上是增函数,从而有g(x)>g(0)=0,即可证得; (III)原不等式等价于,要使x∈[-1,1]恒成立,我们可以求出左边的最大值,从而将问题转化为m2-2bm-3≥[h(x)]max=0,构造一次函数令Q(b)=m2-2bm-3,要使b∈[-1,1]恒成立,则有Q(1)≥0及Q(-1)≥0,从而得解. 【解析】 (I)由三点共线知识, ∵=,∴, ∵A﹑B﹑C三点共线, ∴[y+2f'(1)]+[-ln(x+1)]=1 ∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f'(1). ∴∴, ∴f(x)=ln(x+1)…4分 (Ⅱ)令g(x)=f(x)-, 由, ∵x>0,∴g'(x)>0 ∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数, 故g(x)>g(0)=0,即f(x)>;…8分 (III)原不等式等价于,令 h(x)==,由, 当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0, 令Q(b)=m2-2bm-3,要使b∈[-1,1]恒成立,则有Q(1)≥0及Q(-1)≥0 即,解得m≤-3或m≥3.…12分.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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