Question

，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{a_n}满足a₁=4，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小．

Answer

（1）根据题意把1换成f（0）化简可得，即可得到an的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式求出sn，然后令n=1，2，3，4，5…求出sn，并与6n2-2的大小进行猜想Sn＞6n2-2，最后运用数学归纳法对猜想进行证明．
【解析】
（1）由题设知（n∈N*），可化为．
所以有，
即．
因此数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．
所以，即an=4×3n-1（n∈N*）．
（2）Sn=a1+a2+a3++an=4（1+31+32++3n-1）=2（3n-1），
当n=1时，有Sn=6n2-2=4；
当n=2时，有Sn=16＜6n2-2=22；
当n=3时，有Sn=6n2-2=52；
当n=4时，有Sn=160＞6n2-2=94；
当n=5时，有Sn=484＞6n2-2=148；
…
由此猜想当n≥4时，有Sn＞6n2-2，
即3n-1＞n2．
下面由数学归纳法证明：
①当n=4时，显然成立；
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，有3k-1＞k2．
当n=k+1时，3k=3×3k-1＞3k2，
因为k≥4，所以k（k-1）≥12．
所以3k2-（k+1）2=2k（k-1）-1＞0，
即3k2＞（k+1）2．
故3k＞3k2＞（k+1）2，
因此当n=k+1时原式成立．
由①②可知，当n≥4时，有3n-1＞n2，
即Sn＞6n2-2．
故当n=1，3时，有Sn=6n2-2；
当n=2时，有Sn＜6n2-2；
当n≥4时，有Sn＞6n2-2．