Question

把正偶数数列{2n}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
设a_ij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2008（已知45×46=2070，44×45=1980），求m，n的值；
（2）若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，已知，（n∈N^*）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）由题义正偶数an为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律，使得amn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整数解．
（II）若将n2+n看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，求出bn，从而求出cn，根据通项公式的特点，最后利用错位相消法求出数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（I）∵三角形数表中前m行共有个数，
∴第m行最后一个数应当是所给偶数数列中的第项．
故第m行最后一个数是（2分）
因此，使得amn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整数解．
∵f（x）=x2+x在（0，+∞）上是增函数，又∵45×46＞2008＞44×45∴m=45
于是，第45行第一个数是442+44+2=1982∴n= （5分）
（II）∵第n行最后一个数是n2+n，且有n个数，若将n2+n看成第n行第一个数，
则第n行各数成公差为-2的等差数列，故．
∴（6分）
故
∵=，
两式相减得：=
∴（8分）