Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

Answer

（I）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得这两个向量垂直，即AM∥平面BDE；
（2）求出平面ADF与平面BDF的法向量，利用向量夹角公式求出夹角，即可得到二面角A-DF-B的大小；
（3）点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°，我们设出点P的坐标，并由此求出直线PF与CD的方向向量，再根据PF与CD所成的角是60°构造方程组，解方程即可得到结论．
证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD=N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），
∴=（，
又点A、M的坐标分别是
（）、（
∴=（
∴=且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDF
【解析】
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=•=0，
∴=•=0得，∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜＞=
∴的夹角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°
（3）设P（x，x），，，则
cos=，解得或（舍去）
所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）