Question

某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第m（m∈N，m≥100）站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第m-1站（胜利大本营）或第m站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P_n．
（1）求P，P_l，P₂；
（2）写出P_n与P_n-1，p_n-2的递推关系；
（3）求证：玩该游戏获胜的概率小于．

Answer

（1）结合题设条件能够求出P=1，P1=，=．
（2）依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为，由此能够得到Pn与Pn-1，pn-2的递推关系．
（3）由，知数列{Pn-Pn-1}（1≤n≤99）是首项为公比为的等比数列，由此能证明玩该游戏获胜的概率小于．
（1）【解析】
依题意，得
P=1，P1=，
=（3分）．
（2）【解析】
依题意，棋子跳到第n站（2≤n≤m）有两种可能：
第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为；
第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为
∴           （3分）
（3）证明：∵
即（2分）
可知数列{Pn-Pn-1}（1≤n≤99）是首项为公比为的等比数列，
于是有Pm-1=P+（P1-P）+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pm-1-Pm-2）
=
因此，玩该游戏获胜的概率小于．（2分）