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已知抛物线y=x2,直线y=kx+2,直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S(k...

已知抛物线y=x2,直线y=kx+2,直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S(k).
(1)当k=1时,求出此时S(k)对应的值;
(2)写出S(k)的表达式,并求出对应的最大和最小值.
(1)先将两曲线联立,求得交点横坐标,用来确定积分区间,再根据定积分的几何意义,将所求面积转化为求定积分问题,最后由微积分基本定理计算结果即可 (2)先将两曲线联立,得曲线交点的横坐标x1、x2,从而得x1-x2,x1+x2,x1x2的值(用k表示),再根据定积分的几何意义,将所求面积转化为求定积分问题,最后由微积分基本定理计算,将结果用x1-x2,x1+x2,x1x2表示,代入即可得函数S(k)的表达式,最后利用换元法求函数的值域即可 【解析】 (1)将y=x+2代入y=x2,得x=-1或x=2 ∴S(1)=∫-12(x+2-x2)dx=(+2x-)|-12=(2+4-)-(-2+)= ∴S(1)= (2)将y=kx+2代入y=x2,得x1=或x2=, ∴x1-x2=-,x1+x2=k,x1x2=-2 ∴S(k)==(+2x-)=(+2x1-x13)-(+2x2-x23)=(x1-x2)[(x1+x2)+2-]=-(+2-)= 设t=,则t,则y== ∴S(k)=,此函数的最小值为,无最大值
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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