Question

已知点A（-1，2）是抛物线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A，且与抛物线C 相切，直线l₂：x=a（a≠-1）交抛物线C于点B，交直线l₁于点D．
（1）求直线l₁的方程；
（2）设△BAD的面积为S₁，求|BD|及S₁的值；
（3）设由抛物线C，直线l₁，l₂所围成的图形的面积为S₂，求证：S₁：S₂的值为与a无关的常数．

Answer

（1）由y=2x2，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．由此能求出l1的方程．
（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）．由，得D点坐标（a，-4a-2）．点A到直线BD的距离为|a+1|．由此能求出|BD|及S1的值．
（3）当a＞-1时，S1=（a+1）3，S2=∫-1a[2x2-（-4x-2）]dx=∫-1a（2x2+4x+2）dx=．S1：S2=．当a＜-1时，S1=-（a+1）3，S2=∫a-1[2x2-（-4x-2）]dx=∫a-1（2x2+4x+2）dx=．S1：S2=，综上可知S1：S2的值为与a无关的常数，这常数是．
【解析】
（1）由y=2x2，得y′=4x．当x=-1时，y'=-4．（2分）
∴l1的方程为y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
（2）由，得：B点坐标为（a，2a2）．（4分）
由，得D点坐标（a，-4a-2）．（5分）
∴点A到直线BD的距离为|a+1|．（6分）
|BD|=2a2+4a+2=2（a+1）2
∴S1=|a+1|3．（7分）
（3）当a＞-1时，S1=（a+1）3，（8分）
S2=∫-1a[2x2-（-4x-2）]dx
=∫-1a（2x2+4x+2）dx
=
=．（9分）
∴S1：S2=．（11分）
当a＜-1时，S1=-（a+1）3
S2=∫a-1[2x2-（-4x-2）]dx
=∫a-1（2x2+4x+2）dx
=．（13分）
∴S1：S2=，综上可知S1：S2的值为与a无关的常数，这常数是．（14分）