Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q≠1的等比数列，S_n是其前n的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（1）求q³的值；
（2）证明：12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

Answer

（1）由题意a1，2a7，3a4成等差数列可得4a7=a1+3a4，由于问题中两个问题都只和公比的三次方有关，故从此等式中解出公比的三次方即可；
（2）证明三数成等比数列，需要先求出前n项和公式，然后将公式代入由等比关系转化成的方程进行验证证明即可．
【解析】
（1）∵a1，2a7，3a4成等差数列，
∴4a7=a1+3a4，又数列{an}是首项为a且公比q≠1的等比数列，
∴4aq6=a+3aq3，
整理得：4（q3）2-3q3-1=0，即（4q3+1）（q3-1）=0，
解得：q3=-或q3=1（舍去），
则q3=-；
（2）∵q3=-，
∴，
而
=，
∴S62=12S3•（S12-S6），
则12S3，S6，S12-S6成等比数列．