Question

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer

（I）由已知中AB⊥侧面BB1C1C，易得AB⊥BC1，又由，解△BC1C得C1B⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理，即可得到C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，我们易得B1E⊥平面ABE，BE⊥B1E，设CE=x，则C1E=2-x，由余弦定理，我们易判断E为CC1的中点时，EA⊥EB1
（III）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M，连DF，DN，MN，MF，则MNDF为矩形，MD∥AE，由A1B1⊥EB1，BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角，解Rt△DFM中，即可得到二面角A-EB1-A1的平面角的正切值．
证明：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1
在△BC1C中，
由余弦定理有
故有BC2+BC12=CC12
∴C1B⊥BC
而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC
∴C1B⊥平面ABC

（Ⅱ）由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE
从而B1E⊥平面ABE且BE⊂平面ABE故BE⊥B1E
不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x
又∵则B1E2=1+x2+x
在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4从而x=±1（舍负）
故E为CC1的中点时，EA⊥EB1
（Ⅲ）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M

连DF则DF∥A1B1，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A1B1
连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE
又∵A1B1⊥EB1，BE⊥EB1故∠MDF为所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，

∴