Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点
对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）根据题意，f（-x）+f（x）=0恒成立，利用比较系数法可得b=d=0，然后根据导数的几何意义，得出f'（3）=8且f（3）=6，联解方程组可得a、c的值，最终可得f（x）的解析式；
（2）用直线y=x与函数y=f（x）联解，得出交点横坐标为，根据题意得出[m，n]可能的区间为．然后利用导数来研究函数f（x）的单调性，得出其单调区间后，分别讨论它在各区间上的值域，对照题意可得符合条件的区间为．
【解析】
（1）∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，
即2bx2+2d=0，∴b=d=0
又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
即y-6=8（x-3），…（2分）
∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax3+cx，
∴f'（x）=3ax2+c…（3分）
∴．
故所求的解析式为．…（6分）
（2）解
又f'（x）=x2-1，由f'（x）=0得x=±1，
且当时，f'（x）＞0；…（8分）
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴递增；在[-1，1]上递减…（9分）
∴上的极大值和极小值分别为．
而．
故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为．…（12分）