Question

已知如图M是△ABC内一点，AB=2，AC=3，∠BAC=75°，∠MAB=∠MBA=30°，求CM的长度．

Answer

在三角形ABM中，由∠MAB与∠MBA的度数，利用三角形的内角和定理求出∠AMB的度数，进而得到sin∠AMB的值，由已知的AB及sin∠ABM，利用正弦定理求出AM的长，在三角形ACM中，先由∠CAM=∠BAC-∠MAB，求出∠CAM的度数，再由AC及AM的长，利用余弦定理列出关于CM的方程，求出方程的解即可得到CM的长．
【解析】
在△AMB中，
∵∠MAB=∠MBA=30°，
∴∠AMB=120°，又AB=2，
由正弦定理=得：AM==2，
在△ACM中，∠CAM=∠BAC-∠MAB=75°-30°=45°，AC=3，
根据余弦定理得：CM2=AC2+AM2-2AC•AM•cos∠CAM
=9+8-2×3×2×=5，
则CM=．