Question

设数列{a_n}的前n项和伟S_n，对一切n∈N⁺，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值．

Answer

（1）由点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上可得Sn=n2+2n
利用递推公式可求．
（2）由分组规律知，b2，b4，b6，…b100组成首项为b2=4+6=10，公差d=12的等差数列，利用等差数列的通项公式可求
【解析】
（1）点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上
∴Sn=n2+n …（2分）
an=Sn-Sn-1=n（n+1）-n（n-1）=2n（n≥2）
∵a1=S1=2适合上式
故an=2n
（2）数列{an}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b2，b4，b6，…b100组成首项为b2=4+6=10，公差d=12的等差数列． …（12分）
所以b100=10+（50-1）×12=598 …（14分）