Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，对任意x，y∈（-1，1），都有，且 对x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）证明；
（4）比较与的大小．

Answer

（1）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，
（2）根据函数单调性的定义在（-1，1）上任意取两个值x、y，然后判定f（x）与f（y）的大小关系，从而判定函数单调性；
（3）根据求解，通过化简变形可得结论；
（4）根据第（3）问的结论可得=f（）-f（）+f（）-f（）+…+，然后判定f（）的符合即可得到结论．
【解析】
（1）∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵
当-1＜x＜y＜1时，，由条件知 ，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数，
又函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
（3）∵
∴=f（）=
∴原等式成立
（4）根据可知
=f（）-f（）+f（）-f（）+…+=f（）-f（）
∵x∈（-1，0）时，f（x）＞0，函数f（x）是奇函数
∴f（）＜0
∴=f（）-f（）+f（）-f（）+…+=f（）-f（）＞f（）