Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求常数a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

Answer

（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax，
因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，
所以f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
综上：a=-3，b=2
（2）由（1）知，f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x．
令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．
又f（0）=2，f（3）=2
∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3-3t2+2；
当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=-2；
当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3-3t2+2，最小值为f（2）=-2