Question

已知函数f（x）=2x-2lnx
（Ⅰ）求函数在（1，f（1））的切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）的极值
（Ⅲ）对于曲线上的不同两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲线上的点Q（x，y），且x₁＜x＜x₂，使得曲线在点Q处的切线l∥P₁P₂，则称l为弦P₁P₂的陪伴切线．已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的陪伴切线l的方程．

Answer

（I）利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．
（II）首先对函数求导，使得导函数等于0，解出x的值，分两种情况讨论：当f′（x）＞0，即x＞1；当f′（x）＜0，即0＜x＜1时，列表做出函数的极值点，求出极值．
（III）设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，根据伴随切线的含义写出弦AB的伴随切线l的方程即可．
【解析】
（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×
∴函数y=2x-2lnx在x=1处的切线斜率为0，
又∵切点坐标为（1，2）
切线方程为y=2；
（Ⅱ）．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

 x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - +
f（x） 单调递减 极小值 单调递增

∴当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=2．    没有极大值． …（9分）
（Ⅲ）设切点Q（x，y），则切线l的斜率为．
弦AB的斜率为． …（10分）
由已知得，l∥AB，则=，解得x=e-1，代入函数式得y=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切点坐标（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由点斜式写出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=（x-e-1），即：，
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：．…（13分）