Question

已知△ABC，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是，则PC与平面ABC所成角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

Answer

设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，连接OP，OC，OD，根据，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是，我们分别求出CD，OD，OP的长，进而解出∠PCO的大小，即可得到PC与平面ABC所成角的大小．
【解析】
设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，
连接OP，OC，OD，如图所示：

则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角
∵P到两边AC，BC的距离都是，
故O点在∠ACB的角平分线上，即∠OCD=45°
由于PC为4，PD为2，则CD为2．
则△PCD在底面上的投影△OCD为等腰直角三角形．
则OD=CD=2，然后得CO=2，
根据勾股定理得PO=2=CO，
∴∠PCO45°．
故选B