Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D，E分别是AC₁，BB₁的中点．
（1）求证：平面AEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer

（1）取A1C1的中点D1，AC1的中点F，再证D1FEB1是平行四边形和B1D1⊥平面ACC1A1，即得EF⊥平面ACC1A1，故证出面面垂直；
（2）由（1）知EF是三棱锥E-ACC1的高，求出EF的长，再利用换低公式和体积相等求出点C1到平面AEC的距离．
证明：（1）取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．
则有D1F AA1，B1E AA1．
∴D1F B1E．
则四边形D1FEB1是平行四边形，
∴EF B1D1．
由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴B1D1⊥A1C1．
又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，
且B1D1⊂平面A1B1C1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．
∵EF⊂平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．
【解析】
（2）由（1）知，EF⊥平面AC1，
则EF是三棱锥E-ACC1的高．
由三棱柱各棱长都等于a，
则EC=AE=EC1=a，AC1=a．
∴EF==a．
∵V =V ，
设三棱锥V 的高为h，
则h为点C1到平面AEC的距离．
则 S△AEC•h=S •EF，
即 ×a2h=×a2•a．
∴h=a，即点C1到平面AEC的距离是 a．