Question

已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）．

Answer

解法1 分析法：分析使不等式成立的充分条件，经过分析，使不等式成立的充分条件显然成立，从而证得结论．
解法2 综合法：利用重要不等式 a2d2+b2c2≥2abcd，把（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd 放大，即得要证的不等式．
解法3 作差法：把（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2  展开化简化成完全平方的形式判断符号，可得其值大于或等于0，从而证得不等式成立．
证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），（2分）
即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ，（4分）
即证：2abcd≤a2d2+b2c2 ，（6分）
即证：0≤a2d2+b2c2-2abcd=（ad+bc）2，（8分）
上式明显成立．（10分）  故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法2 （综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd（6分）≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2（9分）=（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法3 （作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+b2d2+2abcd）（5分）
=b2c2+a2d2-2abcd（8分）=（b2c2-a2d2）2≥0（10分）
所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． （12分）