Question

已知圆C圆心在直线y=x-1上，且过点A（1，3），B（4，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x+2y+m=0与圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，且∠MON=60°，求m的值．

Answer

（1）设出圆的一般方程，根据圆的方程求出圆心坐标，将圆心代入直线y=x-1，将A，B代入圆的方程，列出关于待定系数的方程，求出各个系数，即得到圆的方程．
（2）根据圆心角等于圆周角的2倍，通过解半径、圆心距、及弦长的一半构成的直角三角形得到圆心距，根据点到直线的距离公式，列出参数m的方程，求出m的值．
【解析】
（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得D=-4，E=-2，F=0．
∴圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0．
（2）∵∠MON=60°，点O在圆C上，
∴∠MCN=120°，且点C在直线MN下方，
在等腰△MCN中，得点C到直线MN的距离为
∴，解得或．
经检验，不合题意，舍去．
∴．