Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求直线l的方程；
（3）设曲线E的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线交曲线于Q，S两点，过F₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
（ⅰ）设W（x，y），证明：；
（ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．

Answer

（1）由于AM=2AP且NP⊥AM即NP为AM的中垂线故联想到连接NA即可观察出NA+NC=CM=2在根据圆锥曲线的定义可写出曲线E的方程．
（2）设G（x1，y1）、H（x2，y2）根据可利用定比分点坐标公式（）找到点G，H的坐标间的关系然后代入到曲线E的方程可求出点D或G再根据直线的斜率公式求出斜率后有点斜式直接写出直线方程．
（3）（i）由过F1的直线交曲线于Q，S两点，过F2的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT可得出W在以F1F2为直径的圆上且F1F2=2，F1（-1，0），F2（1，0）可得出w满足x2+y2=1再利用进行放缩即可得证．
     （ii）当斜率不存在或斜率为0时易得面积S=，当斜率存在时设为k则可得QS的方程为y=k（x+1）同时设Q（x3，y3），S（x4，y4）可令y=k（x+1）与联立可求出x3+x4，x3x4后可利用弦长公式求出|QS|，再用-代替|QS|中的k即得到|RT|即可得出四边形QRST的面积的表达式然后利用均值不等求出最小值，再将此最小值与比较大小即可求出面积的最小值．
【解析】
（1）∵NP为AM的中垂线
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2
∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=2
∴，c=1
∴b=1
∴方程为
（2）当时，即G为FH中点时，设G（x1，y1）、H（x2，y2）
∴，代入椭圆得，
∴
∴
∴
（3）（i）∵由过F1的直线交曲线于Q，S两点，过F2的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT
∴W在以F1F2为直径的圆上，F1F2=2
∴x2+y2=1
∴
（ii）设QS的方程为y=k（x+1）（当k存在且不为0时）
 代入
∴（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
 设Q（x3，y3），S（x4，y4）
∴，
∴，
∵QS⊥RT
∴，同理，
∴≥（当且仅当k2=1时，取等号）
当k不存在或k=0时，
∵
∴