Question

已知椭圆+=1（a＞0，b＞0）与双曲线x²-y²=1有共同的焦点F₁、F₂，设它们在第一象限的交点为P，且PF₁⊥PF₂
（1）求椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1），对于（1）中的椭圆，是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与椭圆交于不同的两点A、B，点Q满足=，且•=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）焦点F1、F2的坐标分别为（-，0）、（，0），由双曲线和椭圆的定义，解得．由PF1⊥PF2，知，解得a2=3．由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+t，由方程组，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，由直线l与椭圆交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），知t2＜1+3k2，，由和•=0，能求出直线l在y轴上的截距t的取值范围．
【解析】
（1）焦点F1、F2的坐标分别为（-，0）、（，0），
由双曲线和椭圆的定义，得，
解得．（2分）
∵PF1⊥PF2，∴，
即，解得a2=3．（4分）
从而，
故椭圆的方程为．（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+t，
由方程组，
消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，
直线l与椭圆交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴△=（6kt）2-4（1+3k2）（3t2-3）＞0，
即t2＜1+3k2①（8分）
则，
由，得Q为线段AB的中点，
则xQ==，yQ=kxQ+t=，
∵•=0，kNQ•kAB=-1，N（0，-1），
即  化简得1+3k2=2t，（10分）
代入①得t2＜2t，解得0＜t＜2，（11分）
又由2t-1+3k2＞1，得，
所以，直线l在y轴上的截距t的取值范围是（，2）．（12分）