Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设表示数列{b_n}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）根据题中条件点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上，求出an与an+1的关系，便可求出数列{an}的通项公式；
（2）将（1）中求得的{an}的通项公式代入其中便可求出数列{bn}的通项公式，便可求出数列{bn}的前n项和Tn的表达式；
（3）存在，先根据题意求出Sn的表达式，然后求出S1+S2+S3+…+Sn-1与（Sn-1）的关系，便可求出存在g（n）使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立．
【解析】
（1）由点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，即an+1-an=1，且a1=1，
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）•1=n（n∈N*）
（2），

=；
（3），可得，
即nSn-nSn-1=1
∴nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，
nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，
（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1
…
2S2-S1=S1+1
nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1，
∴S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n（Sn-1），n≥2，g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．