Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（Ⅰ）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求cos（β-α）的值；
（Ⅲ）已知点C，求函数的单调区间．

Answer

（1）由题意可得A，B两点的坐标，由任意角的三角函数的定义可得cosα和sinβ的值．
（2）由以上还可得到 sinα=，cosβ=-，由两角和差的余弦公式可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，运算求得结果．
（3）由两个向量的数量积的定义，利用两角和差的余弦公式求得函数f（β）=2sin（β-），由 2kπ-≤β-≤2kπ+，k∈z，以及β为钝角，求出β的范围，可得函数的增区间，
同理，由 2kπ+≤β-≤2kπ+，k∈z，以及β为钝角，求出β的范围，可得函数f（β）的增减区间．
【解析】
（1）由题意可得A的坐标为（，），B的坐标为（-，），由任意角的三角函数的定义可得，
cosα=，sinβ=．
（2）由以上还可得到 sinα=，cosβ=-，由两角和差的余弦公式可得
cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-×+×=．
（3）=（cosβ，sinβ）•=-cosβ+sinβ=2sin（β-）．
由  2kπ-≤β-≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤β≤2kπ+，k∈z．
再由β为钝角可得 ＜β≤，故函数f（β）的增区间为（，．
同理，由 2kπ+≤β-≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ+≤β≤2kπ+，k∈z，
再由β为钝角可得 ≤β＜π，故函数f（β）的增减区间[．