Question

在△ABC中，若S_△ABC=c²-（a-b）²，且a+b=1，
（1）求cosC；
（2）求S_△ABC的最大值．

Answer

（1）利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c2-（a-b）2后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后求出cosC的值；
（2）根据a+b=1，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．
【解析】
由面积公式S△ABC=absinC代入条件S△ABC=c2-（a-b）2，得
absinC=c2-（a-b）2，
余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
absinC=c2-（a-b）2，化为 absinC=2ab（1-cosC）
∴=，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由cos2C+sin2C=（1-k）2+（4k）2=1，得k=，
∴sinC=4k=．
∴cosC=1-k=．
（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴S=absinC=ab≤•=，当且仅当a=b=时，Smax=．
所以三角形面积的最大值为：．