Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N⁺
（1）证明：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N⁺，n≥2），求数列{b_n}的通项公式．
（3）设，数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer

（1）由已知Sn=（1+λ）-λan，得出 Sn+1=（1+λ）-λan+1，（n∈N+），两式相减，化简整理（1+λ）a n+1=λan，结合λ的条件，又得an+1=，是一个与n无关的非零常数．由此进行判断．
 （2）由（1）应得出q=f（λ）=，从而bn=f（bn-1）=，将此式两边取倒数，并化简整理得出-=1 （n∈N+，n≥2），根据等差数列的通项公式求出{} 的通项公式，再求出数列{bn}的通项公式．
（3）由上=•[（n+1）-1]=n•，利用错位相消法求出Tn再去证明不等式．
（1）证明：
 由 Sn=（1+λ）-λan，①
得 Sn+1=（1+λ）-λan+1，②（n∈N+）
②-①得Sn+1-Sn=-λan+1+λan，
即a n+1=-λan+1+λan，
移向整理得（1+λ）a n+1=λan，
∵λ≠-1，0，又得an+1=，是一个与n无关的非零常数，
∴数列{an}是等比数列．

（2）【解析】
由（1）可知q=f（λ）=，∴bn=f（bn-1）=
两边取倒数得出==+1，移向得出-=1 （n∈N+，n≥2），
∴{}是等差数列，且首项=2，公差为1．
由等差数列通项公式求得
=2+（n-1）×1=n+1
∴bn=．

（3）证明：当λ=1时数列{an}的公比q=f（λ）==，
在Sn=（1+λ）-λan，中令n=1时，得出a1=2-a1，解得a1=1．
∴等比数列{an}的 通项公式为an=a1•qn-1=
从而=•[（n+1）-1]=n•＞0，数列{Cn}的前n项和Tn随n的增大而增大．
由 Tn=1•+2•+3•+…n•
得 Tn=1•+2•+…（n-1）•+n•
 两式相减得
Tn=+++…-n•
=-n•
=2-（n+2）•
∴Tn=4-（n+2）•
当n≥2时，Tn≥T2=4-4•=2． 易知Tn＜4．
所以当n≥2时，2≤Tn＜4．