Question

用数学归纳法证明等式：1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）

Answer

用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．
证明：（1）当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×（2+1）=-3，
故左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；
（2）假设n=k时，等式成立，
即12-22+32-…+（2k-1）2-（2k）2=-k（2k+1）成立，
那么n=k+1时，左边=12-22+32-…+（2k+1）2-（2k+2）2

=（k+1）（-2k-3）
=-（k+1）[2（k+1）+1]
综合（1）、（2）可知等式12-22+32-42++（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）对于任意正整数都成立．