Question

已知向量i=（1，0），j=（0，1），函数f（x）=ax³+bx²+c（a≠0）的图象在y轴上的截距为1，在x=2处切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且函数当x=1时取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）的极值．

Answer

（1）由图象在y轴上的截距为1，可求c=1；在x=2处切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且函数当x=1时取得极值，可得，从而可求a，b的值；（2）由f′（x）=12x2-12x=12x（x-1）＞0，从而可得单调递增区间；
（3）x=0时，函数取极大值f（0）=1，x=1时，函数取极小值（1）=-1
【解析】
（1）f（0）=1，c=1∴f′（x）=3ax2+2bx，∴f（x）=4x3-6x2+1
（2）f′（x）=12x2-12x=12x（x-1）＞0，∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（-∞，0）．
（3）由（2）知，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）和（-∞，0），由f′（x）＜0得单调递减区间为（0，1），∴x=0时，函数取极大值f（0）=1，x=1时，函数取极小值（1）=-1