Question

已知向量 =（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．
（1）若α=，求当||取最小值时实数t的值；
（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量-和向量的夹角为，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若⊥，求实数t的取值范围A，并判断当t∈A时函数f（t）=（t，-3）•（t²，t）的单调性．

Answer

（1）先把a=代入求出向量 的坐标，再把 转化为 =，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出 的最小值以及实数t的值；
（2）先利用向量垂直求出 以及 和（ ）（ ），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．
（3）利用向量垂直的条件得到t的范围，再利用导数判断函数的单调性．
【解析】
（1）因为a=，所以 =（ ），，
则 ====
所以当 时，取到最小值，最小值为 ．
（2）由条件得cos45°=，
又因为 ==，==，
（ ）（ ）=5-t，则有 =，且t＜5，
整理得t2+5t-5=0，所以存在t=满足条件．
（3）由题意可得：=（1+tcosα，2+tsinα），
因为⊥，
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+tsin（α+φ）=0
∵|sin（α+φ）|≤1
∴，
∴，
又f（t）=（t，-3）•（t2，t），
∴f（t）=t3-3t
所以f′（t）=3t2-3，
因为，
所以f′（t）=3t2-3＞0，
所以函数f（t）在，上是增函数．