Question

把正整数列按如下规律排列：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
问：（I）此表第n行的第一个数是多少？
（II）此表第n行的各个数之和是多少？
（III）是否存在n∈N^*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为2²⁷-2¹³-120？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）观察已知排列的数，依次正整数的个数是，1，2，4，8，…，分析得出是规律，根据规律求出第n行的正整数个数．
（II）由（I）得到第n行的第一个数，且此行一共有2 n-1个数，从而利用等差数列的求和公式即可计算第n行的各个数之和；
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即存在n使得S′=227-213-120，再利用（II）的结论，构建等式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（I）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
1=21-1，
2=22-1，
4=23-1，
8=24-1，
…，
由此得出第n行的正整数个数为：2n-1．
（II）由（I）得到第n行的第一个数，且此行一共有2 n-1个数，从而利用等差数列的求和公式得：
第n行的各个数之和=…（5分）
（III）第n行起的连续10行的所有数之和
=2n-2（2n+19-2n-1-1023），…（7分）
又227-213-120=23（224-210-15）
若存在n使得S′=227-213-120，
则2n-2（2n+19-2n-1-1023）=23（224-210-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5时，（*）式成立，
n＞5时由（*）可得2n-5（2n+19-2n-1-1023）=224-210-15，
此等式左边偶数右边奇数，不成立．
所以满足条件的n=5．…（10分）