Question

设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．
求证：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．

Answer

（1）根据△ABC外心为O满足，我们根据已知中，易判断出=0，即AH⊥BC，同理证出BH⊥AC，CH⊥AB后，即可得到H是△ABC的垂心；
（2）根据△ABC重心为G满足=，结合已知中，我们易判断出=3，根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2
证明：（1）∵△ABC外心为O，
∴
又∵
∴
则=•==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
∴=3=3+=
即=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2