Question

已知函数f（x）=asinxcosx+acos²x-a+1（a＞0）的定义域为R，当时，f（x）的最大值为2
（1）求a的值
（2）用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的图象
（3）写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标．

Answer

（1）先利用二倍角公式和辅助角公式把函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+h的形式，利用正弦函数的性质求出最大值，又因为已知函数的最大值为2，就可求出参数a的值．
（2）利用“五点法”作图，令分别取0，，π，，2π，求出对应的x与y的值，就可得到函数在一个周期内的五个关键点的坐标，画出见图．
（3）令属于正弦函数的增区间，解出x的范围即为函数f（x）的单调增区间．
令=kπ，k∈Z，解得x的值为函数对称中心的横坐标，因为函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数的对称中心的纵坐标为1．就可得到函数的对称中心．
【解析】
（1）f（x）=asinxcosx+acos2x-a+1
=+-+1
=
=a（sin2xcos+cos2xsin）+1
=asin（2x+）+1
当，则
∴当，f（x）有最大值为，
又∵f（x）的最大值为2，∴=2，
解得：a=2．
（2）由（1）知
令分别取0，，π，，2π，则对应的x与y的值如下表

x -
0 π 2π
y 1 3 -1 1 3

画出函数在区间[-，]的图象如下图

（2）
令，k∈Z
解得，
∴函数的增区间为．
令Z，解得x=，k∈Z，
∴函数的对称中心的横坐标为，k∈Z，
又∵函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的，
∴函数的对称中心的纵坐标为1．
∴对称中心坐标为（，1）k∈Z