Question

设函数y=f（x），x∈R．
（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）为周期函数．
（2）若函数y=f（x）为奇函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）是以4a为周期的函数．
（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明．

Answer

（1）由图象关于x=a对称得f（2a-x）=f（x），再由f（-x）=f（x）可证f（2a+x）=f（x）．
（2）由f（-x）=-f（x）和f（2a-x）=f（x），可推出f（4a+x）=f（x），
（3）把（2）中的对称点由原点推广到任意点，图象关于点（m，n）对称时有 2n-f（x）=f（2m-x），
再根据f（2a-x）=f（x），换元可得  2n-f（x）=f（2m-2a+x），分a=m和a≠m两种情况讨论．
【解析】
（1）由图象关于x=a对称得f（2a-x）=f（x），即f（2a+x）=f（-x），
因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），从而f（2a+x）=f（x），所以f（x）是以2a为周期的函数．
（2）若f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，f（-x）=-f（x），
由图象关于直线x=a（a≠0）对称得，f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x）=-f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a为周期的函数．
（3）推广：若函数y=f（x）图象关于点（m，n）对称且关于直线x=a（a≠0）对称，
则函数f（x）是以4（m-a）为周期的周期函数．
由条件图象关于点（m，n）对称，故2n-f（x）=f（2m-x），又图象关于直线x=a（a≠0）对称，f（2a-x）=f（x），
所以，2n-f（2a-x）=f（2m-x），即2n-f（x）=f（2m-2a+x）．
当a=m时，f（x）=n为常值函数，是周期函数．
当a≠m时，由 2n-f（x）=f（2m-2a+x） 得：
2n-f（2m-2a+x）=f（4m-4a+x），∴2n-（2n-f（x））=f（4m-4a+x），
因此，f[4（m-a）+x]=f（x），所以，f（x）是以4（m-a）为周期的函数．