某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加...

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

（Ⅰ）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值．从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．【解析】（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），则依题意有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，所以f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）． ∴当x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=9072，f（12）=11264，所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

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考点分析：

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设函数y=f（x），x∈R．
（1）若函数y=f（x）为偶函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）为周期函数．
（2）若函数y=f（x）为奇函数并且图象关于直线x=a（a≠0）对称，求证：函数y=f（x）是以4a为周期的函数．
（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明．

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已知函数f（x）=x²+ manfen5.com 满分网

（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

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已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
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（2）解不等式f（x）＜x+5．

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已知f（x）=-

（x²-ax+3a）在区间[2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为．查看答案

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试题属性

题型：解答题
难度：中等