Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是侧面对角线AB₁、BC₁的中点，
（1）求证：EF∥平面ABCD
（2）求两条异面直线AB₁与BC₁所成的角．

Answer

（1）如图，取BB1的中点M，由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，证明EM∥平面ABCD，FM∥平面A1B1C1D1 ，从而证明FM∥平面ABCD，可得平面EFM∥平面ABCD，再由两个平面平行的性质可得 EF∥平面ABCD．
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB1∥BC1，可得∠D1AB1 即为所求．再根据△D1AB1是等边三角形，可得∠D1AB1=60°，从而求得两条异面直线AB1与BC1所成的角．
【解析】
（1）证明：如图，取BB1的中点M，∵点E、F分别是侧面对角线AB1、BC1的中点，
由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，而AB⊂平面ABCD，EM不在平面ABCD内，∴EM∥平面ABCD．
同理可证 FM∥平面A1B1C1D1 ，由平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ，
可得FM∥平面ABCD．
由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．
∵EF⊂平面EFM，∴EF∥平面ABCD．
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AB1∥BC1，∴∠D1AB1 即为所求．
△D1AB1中，三边长都相等，都等于AB，故△D1AB1是等边三角形，故∠D1AB1=60°．
故两条异面直线AB1与BC1所成的角等于60°．